1°- Définitions : solution de l’ed1 x’ = f(t, x) (E), solution est maximale, problème de Cauchy, interprétation géométrique dans le cas n = 1, champ d’éléments de contact, élément de contact, courbe intégrale.

2°- Théorèmes de Cauchy-Lipchitz : équation intégrale, propriété, théorème d’existence locale de Cauchy-Lipchitz, corollaire (toute solution est la restriction d’une solution définie sur un intervalle ouvert), théorème d’unicité locale de Cauchy-Lipchitz, corollaire (deux solutions du problème de Cauchy en (t_o, x_o) sont égales sur l’intersection de leurs intervalles de définition),théorème d’existence et unicité globale de Cauchy-Lipchitz, propriété (aux bornes), propriétés des solutions maximales.

3°- Exemples d’équations différentielles du premier ordre : équations à variables séparables, équations homogènes, équations autonomes.

1°- Définitions : solution du système autonome d’ordre deux, interprétation géométrique, champ de vecteurs, courbes intégrales ou lignes de champ, solutions et solutions maximales, solution est maximale, invariance par translation, problème de Cauchy.

2°- Théorèmes de Cauchy-Lipchitz : équation intégrale, propriété, théorème d’existence locale de Cauchy-Lipchitz, théorème (pour tout m_o € U, il existe une solution f vérifiant la condition initiale ), théorème d’unicité locale de Cauchy-Lipchitz, théorème d’existence et unicité globale de Cauchy-Lipchitz, propriété des solutions maximales.

3°- Étude géométrique des solutions maximales : point stationnaire, propriété, intégrales premières, propriété, lignes de niveau, propriétés aux bornes, solutions contenues dans une courbe simple ou une courbe fermée simple, propriété, corollaire.

4°- Équations différentielles autonomes du second ordre : solution de l’eda2, condition de Cauchy, système différentiel autonome associé, espace des phases.